INTERVALOS DE CONFIANZA PARA POBLACIONES NORMALES

Intervalos de confianza para la media

Varianza poblacional conocida

Cuando conocemos la varianza poblacional utilizamos la distribución normal (Z)

Población	Muestra 1

Búsqueda de valor crítico en tablas:

Según la tabla que utilizamos debemos buscar los valores críticos de acuerdo a la siguiente gráfica de la distribución normal (Z):

Intervalo de confianza

Valor crítico para prueba de Hipótesis: (Una cola)

Determinación del Valor-p: (Dos colas)

Valores críticos: (Dos colas)

P Tamaño de muestra para un error ε :

Varianza poblacional desconocida

Población	Muestra 1

Cuando no conocemos la población debemos usar la distribución t-student

Búsqueda de valor crítico en tablas:

Intervalo de confianza para varianza

Media poblacional conocida

Varianza poblacional desconocida

Intervalo de confianza para la diferencia de medias en poblaciones dependientes

Intervalo de confianza para el cociente de varianzas

Medias poblacionales conocida

Medias poblacionales desconocidas

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA CUALQUIER POBLACIÓN

INTERVALOS DE CONFIANZA APROXIMADO PARA LA MEDIA

Varianza poblacional conocida

Muestra 1

Varianza poblacional desconocida

Muestra 1

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN

Muestra 1

Tamaño de la muestra para un error ε y un nivel de confianza 100 (1-α)%:

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Muestra 1	Muestra 2

CONSTRASTES DE HIPÓTESIS PARA POBLACIONES NORMALES

CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA

Varianza población conocida

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =Z =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

Población	Muestra 1

Varianza poblacional desconocida

Población	Muestra 1

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =t =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA

Varianza población conocida

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC = =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

Varianza poblacional desconocida

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC = =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS EN POBLACIONES INDEPENDIENTES

Varianzas poblacionales conocidas

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =z =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

Muestra 1	Muestra 2

Varianzas poblacionales desconocidas pero iguales

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =t =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

Muestra 1	Muestra 2

Varianzas poblacionales desconocidas y distintas

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =t =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS EN POBLACIONES DEPENDIENTES

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =t =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

CONSTRASTES DE HIPÓTESIS

CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES

CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =z =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =z =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

TRASTES D

ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)

En un experimento de un factor, las mediciones (observaciones) se hacen de a grupos independientes de muestras y b es la cantidad de mediciones en cada muestra. Se habla a tratamientos, cada uno con b repeticiones o b réplicas.

Los resultados de un experimento de un factor se acostumbra presentarlos en una tabla con a renglones y b columnas.

Tratamiento 1
Tratamiento 2
…	…	…
Tratamiento a

La media de las mediciones en el renglón j se denota , se les llama medias de grupo, medias de tratamientos o medias de renglón. Se tiene

(1)

La gran media o media general es la media de las mediciones de todos los grupos y se denota :

(2)

VARIACIÓN TOTAL, VARIACIÓN DENTRO DE TRATAMIENTOS

Y VARIACIÓN ENTRE TRATAMIENTOS

La variación total, que se denota V, se define como la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada medición respecto a la gran media .

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

La segunda suma que aparece en el lado derecho de las ecuaciones (5) y (6) es la variación entre los tratamientos (ya que se trata de los cuadrados de las desviaciones de las medias de los tratamientos , respecto a la gran media ) y se denota . Por tanto,

Por tanto, las ecuaciones (5) y (6) se pueden expresar como:

Variación	Grados de libertad	Cuadrado medio	F
Entre tratamientos
Dentro de tratamientos
Total

FUENTES DE VARIACIÓN	SUMA DE CUADRADOS	GRADOS DE LIBERTAD	CUADRADOS MEDIOS	ESTADÍSTICO
TRATAMIENTOS	SCTR	I-1	CMTR	F=CMTR/CME
ERROR	SCE	N-1	CME
TOTAL	SCT	N-1

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =F =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo
son iguales

Distribución muestral si es verdadera

Distribución muestral si es falsa

MODIFICACIONES PARA NÚMEROS DISTINTOS DE OBSERVACIONES

En casi de que los tratamientos 1,…, a tengan número distintos de observaciones iguales a los resultados anteriores pueden modificarse fácilmente. Así se obtiene

Variación	Grados de libertad	Cuadrado medio	F
Entre tratamientos
Dentro de tratamientos
Total

COMPARACIONES MÚLTIPLES: MÉTODO DE BONFERRONI

Hipótesis nula	Valor del estadístico bajo
	EC =
Hipótesis alternativa	Criterios de rechazo

REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

DELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS

La recta de regresión de mínimos cuadrados de y sobre x

RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS EN TÉRMINOS DE VARIANZAS Y COVARIANZAS MUESTRALES

Las varianzas y covarianzas muestrales de las observaciones de , y están dadas por

Deducciones:

Deducción:

Para encontrar los valores de a i b realizamos las derivadas parciales con respecto de a y b:

y las igualamos a cero. Así obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente, conocido como un sistema de ecuaciones normales:

la solución del sistema de ecuaciones es:

Otras ecuaciones:

La recta de mínimos cuadrados para a través del punto , denominado el centroide o centro de gravedad de los datos.

La pendiente b de la recta de regresión es independiente del origen de coordenadas. Esto quiere decir que si hacemos la transformación (comúnmente llama traslación de ejes) dada por

donde h y k son constantes arbitrarias, entonces b también está dada por

b es invariable. Debemos notar que a, que determina el intercepto.

La covarianza a diferencia de la varianza, puede ser negativa.

La recta de regresión de mínimos cuadrados de y sobre x

La recta de regresión de mínimos cuadrados de x sobre y

Ecuaciones simultaneas para encontrar los valores de y :

Comparando las rectas de regresión:

de Y en X

de X en Y

Los coeficientes de regresión b y d verifican

El número es denominado coeficiente de determinación.

Significa que es paralela al eje X. es paralela al eje Y y perpendiculares entre si en el punto .

Las rectas tienden a ser perpendiculares

Las rectas tienden a ser coincidentes.

PARTICIÓN DE LA VARIANZA DE Y,

Sea un valor observado de la variable e el valor en la ecuación de regresión cuando .

La varianza de Y es el número

Observamos que en la figura tenemos:

VARIACIÓN EXPLICADA Y NO EXPLICADA

Esta terminología surge, debido a que las desviaciones con respectos a la recta de regresión, se comportan de una manera aleatoria o impredecible, debido a que es aleatorio. En tanto que las desviaciones de la recta de regresión con respecto al eje X se explican por la recta de regresión de Y en X, ya que sólo depende de los que están sobre la recta.

Variación total (SCT) → SQT (catalán)

Se define como la suma de los cuadrados de las desviaciones de Y respecto a la media .

Variación no explicada (SCE) → SQE (catalán)

Las desviaciones tienen un patrón aleatorio o impredecible.

Variación explicada (SCR) → SQR (catalán)

Se denomina así porque tienen un patrón definido.

SCT (Variación total)=suma de cuadrados total, refleja la variación de los valores de Y con respecto a la media .

SCE (Variación no explicada)=suma de cuadrados de los errores. Es una media del error al utilizar la ecuación de regresión estimada para estimar los valores de la variable dependiente en los elementos de la muestra.

SCR (Variación explicada)= suma de cuadrados debido a la regresión, refleja la cantidad de variación de los valores de Y explicada por la recta de regresión.

Si divide por n, (el tamaño de la muestra), entonces se dice que la "varianza de los es igual a la varianza no explicada o residual más la varianza explicada por la recta de regresión.

COEFICIENTE O ÍNDICE DE CORRELACIÓN

Coeficiente de correlación muestral:

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

La medida más importante de la bondad de ajuste es el coeficiente de determinación. Este nos indica el grado de ajusto de la recta de regresión a los valores de la muestra. Se define como el cociente de la variación explicada entre la variación total se le llama coeficiente de determinación.

Conclusiones:

Si hay cero variación explicada (es decir, si la variación total es solo variación no explicada), ese cociente es cero. Denota la inexistencia de relación entre las variables X e Y.

Si hay cero variación no explicada (es decir, si la variación total es solo variación explicada), este cociente es 1. El ajuste es perfecto, es decir, cuando todos los puntos se encuentran sobre la recta de regresión.

En los demás casos este cociente se encuentra entre 0 y 1; como siempre es no negativo, se denota . Explica la proporción de variabilidad de los datos que queda explicada por el modelo de regresión, con más próximo a la unidad sea, mejor es el ajuste.

El 100% de la varianza total es igual a:

de varianza no explicada + de la variación explicada por la recta de regresión.

Consecuencias:

1) De la identidad se concluye que . Entonces

Si r>0 se dice que existe correlación directa positiva, ambas variables aumentan (disminuyen) simultáneamente.

Si r<0, se dice que existe una correlación inversa negativa, mientras los valores de una variable aumenta, los de la otra disminuyen y viceversa.

Si r=0, se dice que no hay correlación entre X e Y. Por lo tanto no hay regresión de Y en X.

2) , sólo si, SCE=0, o sólo si, para los n datos de la muestra.

Esto significa que todos los están en la recta de regresión. En este caso se dice se dice que hay una correlación perfecta entre X e Y.

Si r=1, se dice que hay un correlación perfecta positiva.

Si r=-1, se dice que hay una correlación perfecta negativa.

3) , sólo si, SCR=0, sólo si, para los n datos de la muestra.

Es decir no cambia cuando , o todas la predicciones son iguales a una misma constante. En este caso no hay correlación ni regresión.

4) El coeficiente de determinación , es pues una medida de la proximidad del ajuste de la recta de regresión. Cuando mayor sea el valor de , mejor será el ajuste y más útil la recta regresión como instrumento de predicción. ( indica que de 100 pares de puntos 90 están en la recta de regresión y 10 fuera de la recta de regresión).

RASTES DE HIPÓTESIS PARA